EQUAÇÃO GERAL DE GRACELI.

 G ψ = E ψ = E [G+ψ ω /c] =   [/ ]    = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

MECÂNICA GRACELI - FÓTON-MAGNÉTICO DINÂMICA QUÂNTICA RELATIVISTA.

 [G+ψ ω  / c]

 = ordenação de tempo.

 TENSOR G+ GRACELI, SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA.

Em física, a conexão de Berry e a curvatura de Berry são conceitos relacionados que podem ser vistos, respectivamente, como um potencial de gauge local e um campo de gauge associado à fase de Berry ou fase geométrica.^[1] Esses conceitos foram introduzidos por Michael Berry em um artigo publicado em 1984, enfatizando como as fases geométricas fornecem um poderoso conceito unificador em vários ramos da física clássica e quântica.^[2]

Fase de Berry e evolução adiabática cíclica

Na mecânica quântica, a fase de Berry surge em uma evolução adiabática cíclica.^[3] O teorema adiabático quântico se aplica a um sistema cujo hamiltoniano ${\displaystyle H(\mathbf {R} )}$ depende de um parâmetro (vetorial) ${\displaystyle \mathbf {R} }$ isso varia com o tempo ${\displaystyle t}$. Se o ${\displaystyle n}$'ésimo autovalor ${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {R} )}$ permanece não degenerado em todos os lugares ao longo do caminho e a variação com o tempo t é suficientemente lento, então um sistema inicialmente no autovetor próprio normalizado ${\displaystyle \,|n(\mathbf {R} (0))\rangle }$ permanecerá em um autovalor instantâneo${\displaystyle \,|n(\mathbf {R} (t))\rangle }$ do hamiltoniano ${\displaystyle \,H(\mathbf {R} (t))}$, até uma fase, ao longo do processo. Em relação à fase, o estado no momento t pode ser escrito como^[4]

${\displaystyle |\Psi _{n}(t)\rangle =e^{i\gamma _{n}(t)}\,e^{-{i \over \hbar }\int _{0}^{t}dt'\varepsilon _{n}(\mathbf {R} (t'))}\,|n(\mathbf {R} (t))\rangle ,}$ /

G ψ = E ψ = E [G+ψ ω /c] =   [/ ]    = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

onde o segundo termo exponencial é o "fator de fase dinâmica". O primeiro termo exponencial é o termo geométrico, com ${\displaystyle \gamma _{n}}$ sendo a fase de Berry. Da exigência de que ${\displaystyle |\Psi _{n}(t)\rangle }$ satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, pode-se mostrar que

${\displaystyle \gamma _{n}(t)=i\int _{0}^{t}dt'\,\langle n(\mathbf {R} (t'))|{d \over dt'}|n(\mathbf {R} (t'))\rangle =i\int _{\mathbf {R} (0)}^{\mathbf {R} (t)}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle ,}$/

G ψ = E ψ = E [G+ψ ω /c] =   [/ ]    = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

indicando que a fase de Berry depende apenas do caminho no espaço de parâmetros, não da taxa em que o caminho é percorrido.

No caso de uma evolução cíclica em torno de um caminho fechado ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ de maneira que ${\displaystyle \mathbf {R} (T)=\mathbf {R} (0)}$, a fase de Berry de caminho fechado é

${\displaystyle \gamma _{n}=i\oint _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle .}$ /

G ψ = E ψ = E [G+ψ ω /c] =   [/ ]    = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

Um exemplo de sistema físico em que um elétron se move ao longo de um caminho fechado é o movimento do ciclotron (detalhes são fornecidos na página da fase de Berry). A fase de baga deve ser considerada para obter a condição de quantização correta.

O comprimento de onda Compton pode ser entendido como uma limitação fundamental na medida da posição de uma partícula, tomando-se as implicações da mecânica quântica e relatividade especial em conta. Isto depende da massa ${\displaystyle m\ }$ da partícula.

Definições matemáticas

O comprimento de onda Compton ${\displaystyle \lambda \ }$ de uma partícula é dado por

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mc}}=2\pi {\frac {\hbar }{mc}}\ }$, /

G ψ = E ψ = E [G+ψ ω /c] =   [/ ]    = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

onde

${\displaystyle h\ }$ é a constante de Planck,

${\displaystyle m\ }$ é a massa da partícula,

${\displaystyle c\ }$ é a velocidade da luz.

O valor CODATA de 2002 para o comprimento de onda Compton do elétron é 2.4263102175×10⁻¹² m com uma incerteza padrão de 0.0000000033×10⁻¹² m.^[1] Outras partículas têm diferentes comprimentos de onda Compton.

Para ver-se isto, note-se que nós podemos medir a posição de uma partícula por incidir luz sobre ela - mas medir a posição precisamente requer luz de pequeno comprimento de onda. Luz de comprimento de onda pequeno consiste de fótons de alta energia. Se a energia destes fótons excede ${\displaystyle mc^{2}\ }$, quando um atinge a partícula onde cuja posição está sendo medida a colisão deve ter suficiente energia para criar uma nova partícula do mesmo tipo. Disto resulta em tornar oculta a questão da localização original da partícula.

Este argumento também mostra que o comprimento de onda Compton é a ponto de interrupção abaixo do qual a teoria quântica de campos – a qual pode descrever a criação e aniquilação de partículas – torna-se importante.

Pode-se fazer o argumento acima um tanto mais preciso como segue-se. Suponhamos que deseja-se medir a posição de um partícula dentro de uma precisão ${\displaystyle \Delta x\ }$. Então a relação de incerteza para a posição e o momento diz que

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2}$ /G ψ = E ψ = E [G+ψ ω /c] =   [/ ]    = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

então a incerteza no momento da partícula satisfaz

${\displaystyle \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}}$ /G ψ = E ψ = E [G+ψ ω /c] =   [/ ]    = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

Usando a relação relativística entre momento e energia, quando ${\displaystyle \Delta p}$ excede ${\displaystyle mc}$ então a incerteza na energia é maior que ${\displaystyle mc^{2}\ }$, o que é suficiente energia paracriar outra partícula do mesmo tipo. Então, com um pouco de álgebra, nós vemos aqui uma limitação fundamental

${\displaystyle \Delta x\geq {\frac {\hbar }{2mc}}}$ /G ψ = E ψ = E [G+ψ ω /c] =   [/ ]    = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

Assim, pelo menos dentro de uma ordem de magnitude, a incerteza na posição deve ser maior do que o comprimento de onda de Compton ${\displaystyle h/mc\ }$.

O comprimento de onda de Compton pode ser comparado com o comprimento de onda de de Broglie, o qual depende do momento de uma partícula e determina o ponto de corte entre o comportamento de partícula e onda na mecânica quântica.

O caso dos férmions

Para férmions, o comprimento de onda de Compton determina a seção transversal de interações. Por exemplo, a seção transversal para a dispersão de Thonsom de um fóton de um elétron é igual a

${\displaystyle (8\pi /3)\alpha ^{2}\lambda _{e}^{2}}$, /G ψ = E ψ = E [G+ψ ω /c] =   [/ ]    = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

onde ${\displaystyle \alpha \ }$ é a constante de estrutura fina e ${\displaystyle \lambda _{e}\ }$ é o comprimento de onda de Compton do elétron. Para bósons gauge, o comprimento de onda de Compton determina a escala da interação Yukawa: desde que o fóton não tenha massa de repouso, o eletromagnetismo tem escala infinita.

O comprimento de onda de Compton do eléctron é um dos do trio de unidades de comprimento relacionadas, as outras duas sendo raio de Bohr ${\displaystyle a_{0}}$ e o raio clássico do elétron ${\displaystyle r_{e}}$. O comprimento de onda de Compton é obtido a partir da massa do elétron ${\displaystyle m_{e}}$, constante de Planck ${\displaystyle h}$ e a velocidade da luz ${\displaystyle c}$. O raio de Bohr é obtido de ${\displaystyle m_{e}}$, ${\displaystyle h}$ e a carga do elétron ${\displaystyle e}$. O raio clássico do elétron é obtido de ${\displaystyle m_{e}}$, ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle e}$. Qualquer um destes três comprimentos pode ser escrito em termos de qualquer outro usando a constante de estrutura fina ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle r_{e}={\alpha \lambda _{e} \over 2\pi }=\alpha ^{2}a_{0}}$ /

G ψ = E ψ = E [G+ψ ω /c] =   [/ ]    = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

A massa de Planck é especial porque ignorando fatores de ${\displaystyle 2\pi }$ e igualmente, o comprimento de onda de Compton para esta massa é igual a seu raio de Schwarzschild. Esta distância especial é chamada comprimento de Planck. Este é um simples caso de análise dimensional: o raio de Schwarzschild é proporcional à massa, onde o comprimento de onda de Compton é proporcional ao inverso da massa.

A concentração quântica n_Q é a concentração de partícula (i.e. onúmero de partículas porunidade de volume) de um sistema onde a distância interpartícula é igual ao comprimento de onda térmico de de Broglie ou equivalentemente quando os comprimentos de onda das partículas são tangentes ("se tocam") mas não se sobrepõe.^[1][2]

Efeitos quanticos tornam-se mais apreciáveis quando a concentração de partículas é maior ou igual que a concentração quântica, a qual é definida como:

${\displaystyle n_{Q}=\left({\frac {MkT}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}}$ /

G ψ = E ψ = E [G+ψ ω /c] =   [/ ]    = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

onde:

M é a massa das partículas no sistema

k é a constante de Boltzmann

T é a temperatura medida em kelvin

${\displaystyle \hbar \,}$ é a constante de Planck reduzida

Como a concentração quântica depende da temperatura; altas temperaturas irão colocar a maioria dos sistemas no limite clássico sem estes terem uma densidade muito alta, e.g. como uma anã branca.

O abrandamento de átomos por meio de arrefecimento produz um estado quântico único conhecido como condensado de Bose ou condensado de Bose-Einstein. Este fenômeno foi teorizado nos anos 20 por Albert Einstein, ao generalizar o trabalho de Satyendra Nath Bose sobre a mecânica estatística dos Fótons (sem massa) para átomos (com massa). (O manuscrito de Einstein, que se pensava estar perdido, foi encontrado em 2005 numa biblioteca da Universidade de Leiden). O resultado do trabalho de Bose e Einstein é o conceito de gás de Bose, governado pela estatística de Bose-Einstein que descreve a distribuição estatística de partículas idênticas de spin inteiro, conhecidas hoje em dia como Bósons. As partículas bosónicas, que incluem o Fóton e átomos como o He-4, podem partilhar estados quânticos umas com as outras. Einstein especulou que arrefecendo os átomos bosónicos até temperaturas muito baixas os faria colapsar (ou "condensar") para o mais baixo estado quântico acessível, resultando numa nova forma de matéria.

Esta transição ocorre abaixo de uma temperatura crítica, a qual, para um gás tridimensional uniforme consistindo em partículas não-interactivas e sem graus internos de liberdade aparentes, é dada por:

${\displaystyle T_{c}=\left({\frac {n}{\zeta (3/2)}}\right)^{2/3}{\frac {h^{2}}{2\pi mk_{B}}}}$ /

G ψ = E ψ = E [G+ψ ω /c] =   [/ ]    = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

onde:

${\displaystyle T_{c}}$	é	a temperatura crítica,
${\displaystyle n}$		a densidade da partícula,
${\displaystyle m}$		a massa por bóson,
${\displaystyle h}$		a constante de Planck,
${\displaystyle k_{B}}$		a constante de Boltzmann, e
${\displaystyle \zeta }$		a função zeta de Riemann; ${\displaystyle \zeta (3/2)}$ ≈ 2,6124. A correlação quântica é a mudança esperada nas características físicas à medida que um sistema quântico passa por um site de interação. Em outras palavras, o termo correlação quântica passou a significar o valor esperado do produto dos resultados nos dois lados.[1] Ela (por exemplo, emaranhamento[2][3] e discórdia[4][5][6]) é uma característica fundamental da mecânica quântica, que é conhecida por estar no centro de várias aplicações em potencial, como codificação superdensa, teletransporte quântico e criptografia quântica.[7] Testes de Bell No artigo de John Bell, de 1964, que inspirou os testes de Bell, supunha-se que os resultados A e B pudessem assumir apenas um dos dois valores, -1 ou +1. Concluiu-se que o produto também poderia ser apenas -1 ou +1, para que o valor médio do produto fosse ${\displaystyle {\frac {N_{++}-N_{+-}-N_{-+}+N_{--}}{N_{total}}}}$ / G ψ = E ψ = E [G+ψ ω /c] =   [/ ]    = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ].. onde, por exemplo, N++ é o número de ocorrências simultâneas ("coincidências") do resultado +1 nos dois lados do experimento. Em experimentos reais, porém, os detectores não são perfeitos e geralmente existem muitos resultados nulos. A correlação ainda pode ser estimada usando a soma das coincidências, já que claramente os zeros não contribuem para a média, mas na prática, em vez de dividir por Ntotal, tornou-se habitual dividir por ${\displaystyle N_{++}+N_{+-}+N_{-+}+N_{--}}$ / G ψ = E ψ = E [G+ψ ω /c] =   [/ ]    = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ].. o número total de coincidências observadas. A legitimidade desse método baseia-se no pressuposto de que as coincidências observadas constituem uma amostra justa dos pares emitidos. Seguindo as premissas realistas locais, como no artigo de Bell de 1964, a correlação quântica estimada convergirá após um número suficiente de ensaios para ${\displaystyle QC(a,b)=\int d\lambda \rho (\lambda )A(a,\lambda )B(b,\lambda )}$ / G ψ = E ψ = E [G+ψ ω /c] =   [/ ]    = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ].. onde aeb são configurações do detector e λ é a variável oculta, extraída de uma distribuição ρ (λ). A correlação quântica é a principal estatística no CHSH e algumas das outras "desigualdades de Bell", cujos testes abrem caminho para a discriminação experimental entre a mecânica quântica, por um lado, e o realismo local ou a teoria das variáveis ocultas locais, por outro.[8][9]